Question

（2012•温州二模）已知函数f（x）=

x•ex

x-a

（a＜0）．
（I）当a=-4时，试判断函数f（x）在（-4，+∞）上的单调性；
（II）若函数f（x）在x=t处取到极小值，
（i）求实数t的取值集合T； 
（ii）问是否存在整数m，使得m≤

t2

t+1

f（t）≤m+1对于任意t∈T恒成立．若存在，求出整数m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）求导函数，当a=-4时，f′(x)=

(x+2)2

(x+4)2

ex≥0对x∈（-4，+∞）恒成立，从而可得结论；
（II）（i）根据函数f（x）在x=t处取到极小值，a＜0，可得a＜-4，由a=

t2

t+1

＜-4得t＜-1，根据t=g(a)=

a+ a2+4a

2

，可得g（a）在a＜-4时递减，由此可求实数t的取值集合； 
（ii）设h（t）=

t2

t+1

f（t）=

t2

t+1

×（t+1）e^t=t²e^t，可得h（t）在（-2．-1）上递减，从而可得结论．

解答：解：（I）求导函数可得f′(x)=

x2-ax-a

(x-a)2

ex
当a=-4时，f′(x)=

(x+2)2

(x+4)2

ex≥0对x∈（-4，+∞）恒成立
∴函数f（x）在（-4，+∞）上为增函数；
（II）（i）∵函数f（x）在x=t处取到极小值，
∴t²-at-a=0
∴a²+4a＞0
∵a＜0，∴a＜-4
由a=

t2

t+1

＜-4得t＜-1
∵函数f（x）在x=t处取到极小值
∴t=g(a)=

a+ a2+4a

2

∴g′(a)=

1

2

(1+

a+2

a2+4a

)
∵a＜-4，∴g′（a）＜0
∴g（a）在a＜-4时递减
∴t＞g（-4）=-2
∴-2＜t＜-1
∴实数t的取值集合T=（-2，-1）； 
（ii）设h（t）=

t2

t+1

f（t）=

t2

t+1

×（t+1）e^t=t²e^t，
∴h′（t）=t（t+2）e^t，
∴当-2＜t＜-1时，h′（t）＜0，∴h（t）在（-2．-1）上递减
∴0≤

1

e

≤h(t)≤

4

ee

≤1
∴存在m=0，使得m≤

t2

t+1

f（t）≤m+1对于任意t∈T恒成立．

点评：本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，考查函数的极值，正确求导是关键．