Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosA=

1

4

．
（Ⅰ）求sin2

B+C

2

-cos2A的值；
（Ⅱ）若a=

3

，求bc的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用降幂扩角公式及二倍角公式将sin2

B+C

2

-cos2A化简，再将cosA=

1

4

代入求解即可；
（Ⅱ）利用余弦定理可得

b2+c2-a2

2bc

=cosA=

1

4

，再利用基本不等式可得bc≤

2

3

a2，利用a=

3

，即可求bc的最大值．

解答：解：（Ⅰ）sin2

B+C

2

-cos2A
=

1

2

[1-cos(B+C)]-(2cos2A-1)（2分）
=

1

2

(1+cosA)-(2cos2A-1)（3分）
∵cosA=

1

4

．
∴sin2

B+C

2

-cos2A=

1

2

(1+

1

4

)-(

1

8

-1)=

3

2

（6分）
（Ⅱ）∵

b2+c2-a2

2bc

=cosA=

1

4

∴

1

2

bc=b2+c2-a2≥2bc-a2，（8分）
∴bc≤

2

3

a2（10分）
又∵a=

3

∴bc≤2．
当且仅当 b=c=

2

时，bc=2，故bc的最大值是2．（12分）

点评：本题以三角函数为载体，考查倍角公式的运用，考查余弦定理的运用，同时考查了利用基本不等式求最值，应注意等号成立的条件．