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如图,四棱锥
P
-
ABCD
中,侧面
PDC
是边长为
2
的正三角形,且与底面垂直,底面
ABCD
是面积为
的菱形,
Ð
ADC
为菱形的锐角,
M
为
PB
的中点.(
1
)求证:
PA
^
CD
;(
2
)求二面角
P
-
AB
-
D
的大小;(
3
)求三棱锥
P
-
CDM
的体积.
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答案:
解析:
(
1
)略
(
2
)
45
°
(
3
)
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如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,
E是PC的中点.求证:
(Ⅰ)CD⊥AE;
(Ⅱ)PD⊥平面ABE.
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,AB=AD=2CD=2,侧面PAD⊥底面ABCD,且△PAD为等腰直角三角形,∠APD=90°,M为AP的中点.
(1)求证:AD⊥PB;
(2)求三棱锥P-MBD的体积.
如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形,AB=2,
BC=
2
,且侧面PAB是正三角形,平面PAB⊥平面ABCD.
(1)求证:PD⊥AC;
(2)在棱PA上是否存在一点E,使得二面角E-BD-A的大小为45°,若存在,试求
AE
AP
的值,若不存在,请说明理由.
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,且PA=AB=1,
AD=
3
,点F是PB中点.
(Ⅰ)若E为BC中点,证明:EF∥平面PAC;
(Ⅱ)若E是BC边上任一点,证明:PE⊥AF;
(Ⅲ)若
BE=
3
3
,求直线PA与平面PDE所成角的正弦值.
如图,四棱锥P-ABCD,PA⊥平面ABCD,ABCD是直角梯形,DA⊥AB,CB⊥AB,PA=2AD=BC=2,AB=
2
2
,设PC与AD的夹角为θ.
(1)求点A到平面PBD的距离;
(2)求θ的大小;当平面ABCD内有一个动点Q始终满足PQ与AD的夹角为θ,求动点Q的轨迹方程.
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