题目内容

已知矩阵A=
1a
-1b
，A的一个特征值λ=2，其对应的特征向量是α1=
2
1
．
（1）求矩阵A；
（2）若向量β=
7
4
，计算A5β的值．
（1）由题知：
1a
-1b
2
1
=2
2
1
，即2+a=4，-2+b=2，解得a=2，b=4，
所以A=
12
-14
；
（2）矩阵A的特征多项式为f(λ)=
.
λ-1
1
-2
λ-4
.
=λ2-5λ+6=0，
得λ1=2，λ2=3，
当λ1=2时，α1=
2
1
，当λ2=3时，得α2=
1
1
． 则A=2
2
1
=3
1
1

由β=mα1+nα2=m
2
1
+n
1
1
=
7
4
得：
2m+n=7
m+n=4
解得
m=3
n=1
，则β=3α1+α2
∴A5β=A5（3α1+α2）=3（A5α1）+A5α2=3(
λ51
α1)+
λ52
α2=3×25
2
1
+35
1
1
=
435
339
．
练习册系列答案
相关题目
已知矩阵A=
1a
-1b
，A的一个特征值λ=2，其对应的特征向量是α1=
2
1
．
（1）求矩阵A；
（2）若向量β=
7
4
，计算A5β的值．
本题有（1）、（2）、（3）三个选择题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．
（1）．选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A=
1a
-1b
，A的一个特征值λ=2，其对应的特征向量是α1=
2
1
．
（Ⅰ）求矩阵A；
（Ⅱ）若向量β=
7
4
，计算A2β的值．

（2）．选修4-4：坐标系与参数方程
已知椭圆C的极坐标方程为ρ2=
12
3cos2θ+4sin2θ
，点F1，F2为其左、右焦点，直线l的参数方程为
x=2+
2
2
t
y=
2
2
t
（t为参数，t∈R）．求点F1，F2到直线l的距离之和．
（3）．选修4-5：不等式选讲
已知x，y，z均为正数．求证：
x
yz
+
y
zx
+
z
xy
≥
1
x
+
1
y
+
1
z
．
矩阵与变换．已知矩阵A=
1a
-1b
，A的一个特征值λ=2，属于λ的特征向量是
α1
=
2
1
，求矩阵A与其逆矩阵．
坐标系与参数方程已知直线l的极坐标方程是ρcosθ+ρsinθ-1=0．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，在曲线C：
x=-1+cosθ
y=sinθ
(θ为参数)上求一点，使它到直线l的距离最小，并求出该点坐标和最小距离．
选修4-4：矩阵与变换
已知矩阵A=
.
1a
-1b
.
，A的一个特征值λ=2，其对应的特征向量是α1=
.
2
1
.
．
（Ⅰ）求矩阵A；
（Ⅱ）求直线y=2x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．

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