Question

矩阵与变换．已知矩阵A=

1 a -1 b

，A的一个特征值λ=2，属于λ的特征向量是

α1

=

2 1

，求矩阵A与其逆矩阵．
坐标系与参数方程已知直线l的极坐标方程是ρcosθ+ρsinθ-1=0．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，在曲线C：

x=-1+cosθ y=sinθ

(θ为参数)上求一点，使它到直线l的距离最小，并求出该点坐标和最小距离．

Answer 1

分析：A：根据特征值的定义可知Aα=λα，利用待定系数法建立等式关系，从而可求矩阵A，再利用公式求逆矩阵．
B：将直线的参数方程化为普通方程，曲线C任意点P的坐标为（-1+cosθ，sinθ），利用点到直线的距离公式P到直线的距离d，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d的最小值，并求出此时θ的度数，即可确定出所求点P的坐标．

解答：解：A：由题意知

1 a -1 b

2′ 1′

=2

2′ 1′

，
得

2+a=4 -2+b=2

，
解得

a=2 b=4

，
∴A=

1 2 -1 4

，
∴A^-1=

2 3 - 1 3 1 6 1 6

．
B：将直线l化为普通方程得：x+y-1=0，
设所求的点为P（-1+cosθ，sinθ），
则P到直线l的距离d=

|-1+cosθ+sinθ-1|

2

=|sin（θ+

π

4

）-

2

|，
当θ+

π

4

=

π

2

，即θ=

π

4

时，sin（θ+

π

4

）=1，d取得最小值

2

-1，
此时点P的坐标为（-1+

2

2

，

2

2

）．

点评：A：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，同时考查了逆矩阵求解公式，属于基础题．
B：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有直线与圆的参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，根据曲线C的参数方程设出所求P的坐标，根据点到直线的距离公式表示出d，进而利用三角函数来解决问题是解本题的思路．