Question

【题目】已知等比数列{an}的公比q＞1，且a3+a4+a5＝28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1＝1，数列{（bn+1﹣bn）an}的前n项和为2n2+n．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求数列{bn}的通项公式．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

（1）运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式；

（2）设cn＝（bn+1﹣bn）an，数列{cn}前n项和为Sn．由数列的递推式求得cn，再由数列的恒等式可得bn，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求通项公式．

（1）由题知a3+a4+a5＝28，a4+2是a3，a5的等差中项，

所以a3+a5＝2a4+4，解得a4＝8，a3+a5＝20，

即a1q3＝8，a1q2+a1q4＝20，

解得a1＝1，q＝2，

所以；

（2）设cn＝（bn+1﹣bn）an，数列{cn}前n项和为Sn．

由，Sn＝2n2+n，Sn﹣1＝2（n﹣1）2+n﹣1．

解得cn＝4n﹣1．

由（1）可知，

所以，

故，

bn﹣b1＝（bn﹣bn﹣1）+（bn﹣1﹣bn﹣2）+…+（b3﹣b2）+（b2﹣b1），

设，

所以，

相减可得

3+4（4n﹣5）（）n﹣1，

化简可得，

又b1＝1，所以．