Question

已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数．
（Ⅰ）若f（x）=2f′（x），求的值．
（Ⅱ）求函数F（x）=f（x）f′（x）+f²（x）的最大、最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据f（x）=2f'（x），易得sinx+cosx-2cosx-2sinx⇒tanx=；再求的值，可以采用“齐次化切法”．
（II）求函数F（x）=f（x）f′（x）+[f（x）]²的最大值和最小值，必须先求f（x）的导数，再进行化简F（x）．再决定正弦型函数的性质求出最值
解答：解：（I）已知函数f（x）=sinx+cosx，则f′（x）=cosx-sinx．
由f（x）=2f'（x），易得sinx+cosx=2cosx-2sinx．
解得tanx=
∴===；
（II）由（I）得代入F（x）=f（x）f′（x）+[f（x）]²
∴F（x）=cos2x+sin2x+1=sin（2x+）+1
当2x+=2kπ+⇒x=kπ+（k∈Z）时，[F（x）]max=+1
当2x+=2kπ-⇒x=kπ-（k∈Z）时，[F（x）]max=-+1
点评：求f（x）的导数，必须保证求导的准确，要熟记求导公式．已知tanx=a，求其它三角函数代数式的值，常常采用“齐次化切法”．