题目内容

已知F是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左焦点，若椭圆上存在点P，使得直线PF与圆x2+y2=b2相切，当直线PF的倾斜角为
2π
3
，则此椭圆的离心率是（　　）
A．
2
7
7
B．
2
5
5
C．
2
2
D．
3
2
设椭圆的左焦点为（-c，0），c=
a2-b2
，
∵直线PF的倾斜角为
2π
3
，
则直线PF的方程为
3
x+y+
3
c=0，
∵直线PF为圆O：x2+y2=b2的一条切线
∴
|
3
c|
2
=b，即b=
3
2
c，
∴a2=b2+c2=
7
4
c2
∴e=
c
a
=
2
7
7
．
故选A．
练习册系列答案
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精英家教网已知F是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，OP∥AB（O为原点），则该椭圆的离心率是（　　）
A、
2
2
B、
2
4
C、
1
2
D、
3
2
已知F是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点，A是椭圆短轴上的一个顶点，椭圆的离心率为
1
2
，点B在x轴上，AB⊥AF，A、B、F三点确定的圆C恰好与直线x+
3
y+3=0相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）设O为椭圆的中心，过F点作直线交椭圆于M、N两点，在椭圆上是否存在点T，使得
OM
+
ON
+
OT
=
0
，如果存在，则求点T的坐标；如果不存在，请说明理由．
（2011•温州二模）已知F是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左焦点，若椭圆上存在点P，使得直线PF与圆x2+y2=b2相切，当直线PF的倾斜角为
2π
3
，则此椭圆的离心率是（　　）
已知F是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点，A是椭圆短轴上的一个顶点，椭圆的离心率为
1
2
，点B在x轴上，AB⊥AF，A，B，F三点确定的圆C恰好与直线x+
3
y+3=0相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在过F作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于M，N两点，P为线段MN的中点，设O为椭圆中心，射线OP交椭圆于点Q，若
OM
+
ON
=
OQ
，若存在求k的值，若不存在则说明理由．
（2012•上饶一模）已知F是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点，A是椭圆短轴上的一个顶点，椭圆的离心率为
1
2
，点B在x轴上，AB⊥AF，A、B、F三点确定的圆C恰好与直线x+
3
y+3=0相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设O为椭圆的中心，是否存在过F点，斜率为k（k∈R，l≠0）且交椭圆于M、N两点的直线，当从O点引出射线经过MN的中点P，交椭圆于点Q时，有
OM
+
ON
=
OQ
成立．如果存在，则求k的值；如果不存在，请说明理由．

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