Question

已知函数y=sinx+acosx的图象关于对称，则函数y=asinx+cosx的图象的一条对称轴是（ ）
A．x=
B．x=
C．x=
D．x=π

Answer 1

【答案】分析：函数y=sinx+acosx变为y=sin（x+∅），tan∅=a又图象关于对称，+∅=kπ+，k∈z，可求得∅=kπ-，由此可求得a=tan∅=tan（kπ-）=-，将其代入函数y=asinx+cosx化简后求对称轴即可．
解答：解：y=sinx+acosx变为y=sin（x+∅），（令tan∅=a）又
图象关于对称，
∴+∅=kπ+，k∈z，可求得∅=kπ-，
由此可求得a=tan∅=tan（kπ-）=-，
函数y=-sinx+cosx=sin（x+θ），（tanθ=-）
其对称轴方程是x+θ=kπ+，k∈z，
即x=kπ+-θ
又tanθ=-，故θ=k₁π-，k₁∈z
故函数y=asinx+cosx的图象的对称轴方程为x=（k-k₁）π++=（k-k₁）π+，k-k₁∈z，
当k-k₁=1时，对称轴方程为x=
故选A．
点评：本题考查三角恒等变形以及正弦类函数的对称性质，是三角函数中综合性比较强的题目，比较全面地考查了三角函数的图象与性质．