Question

已知锐角△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，定义向量

m

=(2sinB，

3

)，

n

=(2cos2

B

2

-1，cos2B)，且

m

⊥

n

．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）如果b=4，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

m

⊥

n

，得

m

•

n

=0，即（2sinB，

3

）•（cosB，cos2B）=0，利用正弦倍角公式、和差角公式可求得B值；
（Ⅱ）利用余弦定理可得16=a²+c²-ac，利用基本不等式可得ac的最大值，从而可得△ABC的面积的最大值；

解答：解：（Ⅰ）

n

=(cosB，cos2B)，
因为

m

⊥

n

，所以

m

•

n

=0，即（2sinB，

3

）•（cosB，cos2B）=0，
所以2sinBcosB+

3

cos2B=sin2B+

3

cos2B=2sin（2B+60°）=0，
又△ABC为锐角三角形，所以2B+60°=180°，解得B=60°；
（Ⅱ）由余弦定理得，b²=a²+c²-2accos60°，即16=a²+c²-ac，
则16=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，当且仅当a=c时取等号，
所以△ABC的面积S△ABC=

1

2

acsin60°=

3

4

ac≤

3

4

×16=4

3

，
所以△ABC的面积的最大值是4

3

．

点评：本题考查平面向量数量积的运算、两角和与差的正弦函数，考查基本不等式求函数最值．