Question

【题目】已知函数.

(I) 当时，求函数的单调区间;

(II) 当时，恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ) 单调递增区间为，单调递减区间为.

（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）对函数求导，令，由，可得有两个不同解，结合函数的定义域，即可求得函数的单调区间；（Ⅱ）当时，恒成立等价于当时，恒成立，令，求导得，设，利用导数研究函数的单调性，从而可确定，然后对分类讨论，即可求得的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）∵，函数定义域为：

∴

令，由可知，

从而有两个不同解.

令，则

当时，；当时，，

所以函数的单调递增区间为，

单调递减区间为.

（Ⅱ）由题意得，当时，恒成立.

令，求导得，

设，则，

∵

∴

∴，

∴在上单调递增，即在上单调递增，

∴

①当时，，

此时，在上单调递增，而.

∴恒成立，满足题意.

②当时，，而

根据零点存在性定理可知，存在，使得.

当时，单调递减；

当时，，单调递增.

∴有，

∴恒成立矛盾

∴实数的取值范围为