Question

设P是双曲线上的一点，F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点，则以线段PF₂为直径的圆与以双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是（ ）
A．内切
B．外切
C．内切或外切
D．不相切

Answer 1

【答案】分析：利用双曲线的定义，通过圆心距判断出当点P分别在左、右两支时，两圆相内切、外切．
解答：解：设以实轴|F₁F₂|为直径的圆的圆心为O₁，其半径r₁=a，
线段PF₂为直径的圆的圆心为O₂，其半径为r₂=，
当P在双曲线左支上时，
|O₁O₂|=，
∵r₂-|O₁O₂|=-=a=r₁，
∴两圆内切．
当当P在双曲线右支上时，
|O₁O₂|=，
∵|O₁O₂|-r₂=-=a=r₁，
∴r₁+r₂=|O₁O₂|
∴两圆外切．
故选C．
点评：本题考查直线和双曲线的位置关系，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易错点是容易只考虑P点在一个分支上而导致丢解，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．