Question

曲线C的极坐标方程是ρ=1+cosθ，点A的极坐标是（2，0），求曲线C在它所在的平面内绕点A旋转一周而形成的图形的周长．

Answer 1

分析：先设P（ρ，θ）是曲线C上的任意一点，由余弦定理求出|AP|有最大值，再结合图形观察得出曲线C在它所在的平面内绕点A旋转一周而形成的图形是一个圆，从而即可求出其周长．

解答：解：设P（ρ，θ）是曲线C上的任意一点，
则|OP|=ρ=1+cosθ，由余弦定理，
得|AP|²=|OP|²+|OA|²-2|OP|•|OA|cosθ
=（1+cosθ）²+2²-4(1+cosθ)cosθ=

16

3

-3(cosθ+

1

3

)2，
当cosθ=-

1

3

时，|AP|有最大值为

16 3

，
将点A（2，0）代入曲线C的极坐标方程，是满足的，知点A在曲线C上，
所以曲线C在它所在的平面内绕点A旋转一周而形成的图形是以点A为圆心、|AP|=

16 3

为半径的圆，其周长为2π

16 3

．

点评：本小题主要考查简单曲线的极坐标方程、极坐标方程的应用、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．