Question

已知定点A（-2，0），动点B是圆F：（x-2）²+y²=64（F为圆心）上一点，线段AB的垂直平分线交BF于P．
（I）求动点P的轨迹方程；
（II）是否存在过点E（0，-4）的直线l交P点的轨迹于点R，T，且满足（O为原点）．若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由题意得|PA|=|PB|且|PB|+|PF|=r=8．故|PA|+|PF|=8＞|AF|=4∴P点轨迹为以A、F为焦点的椭圆，从而动点P的轨迹方程；
（II）假设存在满足题意的直线L，设直线L的斜率为k，R（x₁，y₁），T（x₂，y₂）．∵，∴．从而求得直线方程．
解答：解：（I）由题意得|PA|=|PB|且|PB|+|PF|=r=8．故|PA|+|PF|=8＞|AF|=4
∴P点轨迹为以A、F为焦点的椭圆．
设椭圆方程为
∴．
（II）假设存在满足题意的直线L．易知当直线的斜率不存在时，不满足题意．
故设直线L的斜率为k，R（x₁，y₁），T（x₂，y₂）．
∵，∴．
．．…①．
∴．
∴y₁•y₂=（kx₁-4）（kx₂-4）=k²x₁x₂-4k（x₁+x₂）+16，
．解得k²=1．…②．
由①、②解得k=±1．
∴直线l的方程为y=±x-4．
故存在直线l：，x+y+4=0或x-y-4=0，满足题意．
点评：本题考查椭圆定义的运用及待定系数法求椭圆方程；（II）关键是将条件等价变形，同时应注意分类讨论．