Question

在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)=x²+2x+b(x∈R)的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．
(Ⅰ)求实数b的取值范围；
(Ⅱ)求圆C的方程；
(Ⅲ)问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论。

Answer 1

解：(Ⅰ)显然b≠0．
否则，二次函数f(x)=x²+2x+b的图象与两个坐标轴只有两个交点(0，0)，（-2，0），
这与题设不符，
由b≠0知，二次函数f(x)=x²+2x+b的图象与y轴有一个非原点的交点(0，b)，
故它与x轴必有两个交点，
从而方程x²+2x+b=0有两个不相等的实数根，
因此方程的判别式4-4b＞0，即b＜1，
所以b的取值范围是(-∞，0)∪(0，1)．
(Ⅱ)由方程x²+2x+b=0，得，
于是，二次函数f(x)=x²+2x+b的图象与坐标轴的交点是，
设圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
因圆C过上述三点，将它们的坐标分别代入圆C的方程，得
，
解上述方程组，因b≠0，得，
所以，圆C的方程为x²+y²+2x-(b+1)y+b=0。
(Ⅲ)圆C过定点．
证明如下：假设圆C过定点(x₀，y₀)（x₀，y₀不依赖于b），
将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为x₀²+y₀²+2x₀-y₀+b（1-y₀）=0，（*）
为使(*)式对所有满足b＜1(b≠0)的b都成立，
必须有1-y₀=0，结合(*)式得x₀²+y₀²+2x₀-y₀=0，
解得或，
经检验知，点(0，1)，（-2，1）均在圆C上．
因此，圆C过定点．