题目内容
某汽车厂有一条价值为a万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y万元与技术改造投入x万元之间满足：①y与（a-x）•x2成正比；②当x=
时，y=a3，并且技术改造投入满足
∈（0，t]，其中t为常数且t∈（1，2]．
（1）求y=f（x）表达式及定义域；
（2）求出产品增加值的最大值及相应x的值．
| a |
| 2 |
| x |
| 2(a-x) |
（1）求y=f（x）表达式及定义域；
（2）求出产品增加值的最大值及相应x的值．
（1）由题意，设y=f（x）=k（a-x）•x2
∵当x=
时，y=a3，∴k=8，∴f（x）=8（a-x）•x2
∵
∈（0，t]，∴x∈（0，
]；
（2）f′(x)=-24x2+16ax=-24x(x-
a)
令f′（x）=0，∴x=
a
当t∈（1，2]时，
≥
a，
∴x∈(0，
a)，f′（x）＞0时，函数单调递增；x∈(
a，
)，f′（x）＜0时，函数单调递减，
∴x=
a时，ymax=
a3…（10分）
综上1≤t≤2时，投入
a万元最大增加值
a3万元 …（12分）
∵当x=
| a |
| 2 |
∵
| x |
| 2(a-x) |
| 2at |
| 2t+1 |
（2）f′(x)=-24x2+16ax=-24x(x-
| 2 |
| 3 |
令f′（x）=0，∴x=
| 2 |
| 3 |
当t∈（1，2]时，
| 2at |
| 2t+1 |
| 2 |
| 3 |
∴x∈(0，
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2at |
| 2t+1 |
∴x=
| 2 |
| 3 |
| 32 |
| 27 |
综上1≤t≤2时，投入
| 2 |
| 3 |
| 32 |
| 27 |
练习册系列答案
相关题目
时，y=a3，并且技术改造投入满足
∈（0，t]，其中t为常数且t∈（1，2]．
万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值
万元与技术改造投入
万元之间满足：①
成正比；②当
时，
，并且技术改造投入满足
，其中
为常数且
。
表达式及定义域；
万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值
万元与技术改造投入
万元之间满足：①
成正比；②当
时，
，并且技术改造投入满足
，其中
为常数且
。
表达式及定义域；