Question

（本题满分13分）
已知函数处取得极小值，其图象过点A（0，1），且在点A处切线的斜率为—1。
（1）求的解析式；
（2）设函数上的值域也是，则称区间为函数的“保值区间”。
①证明：当不存在“保值区间”；
②函数是否存在“保值区间”？若存在，写出一个“保值区间”（不必证明）；若不存在，说明理由。

Answer 1

 
[0，1]为它的一个“保值区间”。

．解：（1）
， ………………2分
由
所以 ………………4分
（2）由（1）得，
①假设当存在“保值区间”

于是问题转化为有两个大于1的不等实根。…………6分
法一：现在考察函数，


 …………10分
当x变化时，的变化情况如下表：

	—	0	+
	单调递减	极小值	单调递增

所以，上单调递增。

法二：于是问题转化为有两个大于1的不等实根。

所以函数的图象有且只有一个交点。
即方程有且只有一个大于1的实根，与假设矛盾。
故当不存在“保值区间”。
②存在“保值区间”，[0，1]为它的一个“保值区间”。 ………………13分