Question

直线x+y=a与圆x²+y²=1交与不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若x₁x₂+y₁y₂=a，则实数a的值是（　　）

• A、

  1± 5

  2

• B、

  1- 5

  2

• C、

  1+ 5

  2

• D、

  -1+ 5

  2

Answer 1

分析：把直线与圆的方程联立后，消去y得到关于x的一元二次方程，因为直线与圆有两个不同的交点，所以方程有两个不同的解即△大于0，列出关于a的不等式求出a的范围，利用韦达定理求出两个之积x₁x₂；同理消去x得到关于y的一元二次方程，利用韦达定理得到y₁y₂，把x₁x₂和y₁y₂的值代入到x₁x₂+y₁y₂=a得到关于a的方程，求出a的值，利用a的范围即可得到满足条件的a的值．

解答：解：把直线与圆的方程联立得

x+y=a x2+y2=1

，消去y得2x²-2ax+a²-1=0，
因为直线与圆有两个不同的交点则△=（-2a）²-8（a²-1）＞0即a²＜2，解得-

2

＜a＜

2

；
利用韦达定理得x₁x₂=

a2-1

2

；同理消去x后得到y₁y₂=

a2-1

2

，
则x₁x₂+y₁y₂=

a2-1

2

+

a2-1

2

=a，化简得a²-a-1=0，解得a=

1+ 5

2

＞

2

，舍去，a=

1- 5

2

所以实数a的值为

1- 5

2

故选B．

点评：此题考查学生会用代数的方法研究几何问题，灵活运用韦达定理化简求值，是一道中档题．