Question

（理）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA=AD=2，点E、F、G分别为线段PA、PD和CD的中点．
（1）求异面直线EG与BD所成角的大小；
（2）在线段CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离恰为？若存在，求出线段CQ的长；若不存在，请说明理由．
（文）已知坐标平面内的一组基向量为，，其中，且向量．
（1）当和都为单位向量时，求；
（2）若向量和向量共线，求向量和的夹角．

Answer 1

【答案】分析：（理科）（1）以点A为坐标原点，射线AB，AD，AZ分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建系如图示，写出点E（0，0，1）、G（1，2，0）、B（2，0，0）、D（0，2，0），和向量，的坐标，利用异面直线EG与BD所成角公式求出异面直线EG与BD所成角大小即可；
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即先假设在线段CD上存在一点Q满足条件，设点Q（x，2，0），平面EFQ的法向量为，再点A到平面EFQ的距离，求出x，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
（文科）（1）由题意，得出，都为单位向量．从而求得．
（2）由条件，因为向量和向量共线，根据共线向量的性质求得：．最后利用向量和的夹角即可求得向量和的夹角．
解答：解：（理科）（1）以点A为坐标原点，射线AB，AD，AZ分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系如图示，点E（0，0，1）、G（1，2，0）、B（2，0，0）、D（0，2，0），
则，．
设异面直线EG与BD所成角为θ=，
所以异面直
线EG与BD所成角大小为．
（2）假设在线段CD上存在一点Q满足条件，设点Q（x，2，0），平面EFQ的法向量为，
则有得到y=0，z=xx，取x=1，
所以，则，又x＞0，解得，
所以点即，则．
所以在线段CD上存在一点Q满足条件，且长度为．
（文科）解：（1）由题意，当x=0时，sinx=0，cosx=1，此时，都为单位向量．
故，
所以．
（2）由条件
因为向量和向量共线，
所以，
因为，
所以．
于是，，
设向量和的夹角为θ
则=，
即向量和的夹角为．
点评：考查利用空间向量证明垂直和求夹角和距离问题，以及平行向量与共线向量的判定定理，体现 了转化的思想方法，属中档题．