Question

（理）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA=AD=2，点E、F、G分别为线段PA、PD和CD的中点．
（1）求异面直线EG与BD所成角的大小；
（2）在线段CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离恰为？若存在，求出线段CQ的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）以点A为坐标原点，射线AB，AD，AZ分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建系如图示，写出点E（0，0，1）、G（1，2，0）、B（2，0，0）、D（0，2，0），和向量 ，的坐标，利用异面直线EG与BD所成角公式求出异面直线EG与BD所成角大小即可；
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即先假设在线段CD上存在一点Q满足条件，设点Q（x，2，0），平面EFQ的法向量为 ，再点A到平面EFQ的距离，求出x，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
解答：解：（1）以点A为坐标原点，射线AB，AD，AZ分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系如图示，点E（0，0，1）、G（1，2，0）、B（2，0，0）、D（0，2，0），
则 ，．
设异面直线EG与BD所成角为θ =，
所以异面直
线EG与BD所成角大小为 ．
（2）假设在线段CD上存在一点Q满足条件，
设点Q（x，2，0），平面EFQ的法向量为 ，
则有 得到y=0，z=xx，取x=1，
所以 ，
则 ，
又x＞0，解得 ，
所以点 即 ，
则 ．
所以在线段CD上存在一点Q满足条件，且线段CQ的长度为 ．
点评：考查利用空间向量证明垂直和求夹角和距离问题，以及平行向量与共线向量的判定定理，体现 了转化的思想方法，属中档题．