Question

(本小题满分14分)已知函数，(x>0)．
（1）当0<a<b，且f(a)=f(b)时，求的值 ；   
（2）是否存在实数a，b（a<b），使得函数y=f(x)的定义域、值域都是[a，b]，若存在，求出a，b的值，若不存在，请说明理由．
（3）若存在实数a，b（a<b），使得函数y=f(x)的定义域为 [a，b]时，值域为 [ma，mb]，(m≠0)，求m的取值范围．

Answer 1

（14分）（1）．
（2）不存在满足条件的实数a，b．
（3）

（14分）解：（1）∵x>0，∴
∴f(x)在（0，1）上为减函数，在上是增函数．
由0<a<b，且f(a)=f(b)，可得 0<a1<b和．即．
……………………3分
（2）不存在满足条件的实数a，b．
若存在满足条件的实数a，b，使得函数y=的定义域、值域都是[a，b]，
则a>0． 而
①当时，在（0，1）上为减函数．
故    即 解得  a=b．
故此时不存在适合条件的实数a，b．
②当时，在上是增函数．
故    即 
此时a，b是方程的根，此方程无实根．
故此时不存在适合条件的实数a，b．
③当，时，由于，而，
故此时不存在适合条件的实数a，b．
综上可知，不存在适合条件的实数a，b．        …………………………8分
（3）若存在实数a，b（a<b），使得函数y=f(x)的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb]．
则a>0，m>0．
①  当时，由于f(x)在（0，1）上是减函数，故．此时得a=b，不符合题意，所以a，b不存在．                              
②  当，时，由（2）知0在值域内，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在．
故只有．
∵在上是增函数，
∴ 即   所以a、b是方程的两个根．
即关于x的方程有两个大于或等于1的相异实根．
设这两个根为、，则+=，·=．
∴      即   解得  ．
故m的取值范围是．   ……………………………14分