Question

已知数列a_n的各项都为正数，a₁=1，前n项和S_n满足Sn-Sn-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．
（Ⅰ）求数列a_n的通项公式；
（Ⅱ）令bn=

1

anan+1

（n∈N^*），数列b_n的前n项和为T_n，若a_n+1≥λT_n对任意正整数n都成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（I）有数列a_n的前n项和S_n满足Sn-Sn-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）⇒

Sn

-

Sn-1

=1，先求出S_n，在求出数列a_n的通项公式；
（II）有（I）得到a_n又有bn=

1

anan+1

（n∈N^*），得到数列b_n的通项公式，再利用求和方法的其前n项和然后解不等式．

解答：解：（Ⅰ）∵Sn-Sn-1=

Sn

+

Sn-1

，
∴(

Sn

+

Sn-1

)(

Sn

-

Sn-1

)=

Sn

+

Sn-1

，
又∵a_n＞0，∴

Sn

+

Sn-1

＞0，∴

Sn

-

Sn-1

=1（n≥2），
∴数列{

Sn

}是等差数列，首项为

S1

=1，公差为1，
∴

Sn

=1+n-1=n，∴S_n=n²
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1；
又a₁=1，∴数列a_n的通项公式为a_n=2n-1．
（Ⅱ）bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

++

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．
由a_n+1≥λT_n得2n+1≥λ×

n

2n+1

对任意正整数n都成立，
∴（2n+1）²≥λn，
∴λ≤

(2n+1)2

n

=

4n2+4n+1

n

=4n+4+

1

n

．
令f(x)=4x+

1

x

(x≥1)，则f′(x)=4-

1

x2

＞0，
∴f（x）在[1，+∞）上递增，
∴对任意正整数n，4n+

1

n

的最小值为5，∴λ≤9．

点评：此题考查了已知数列a_n的前n项和S_n，求数列的通项还考查了裂项相消求数列的和及不等式恒成立．