Question

已知等比数列{a_n}的各项都为正数，且当n≥3时，a₄•a_2n-4=10²ⁿ，则数列2lga1，2lga2，2lga3，2lga4，…，2lgan，…的前n项和S_n等于

 

．

Answer 1

分析：在等比数列{a_n}中，各项都为正数，且当n≥3时，a₄•a_2n-4=10²ⁿ，得a_n²=10²ⁿ，即a_n=10ⁿ；所以数列2lga1，2lga2，2lga3，2lga4，…，2lgan，…的前n项和S_n=2lga1+2lga2+2lga3+2lga4+…+2lgan=2^lg10+2lg102+2lg103+2lg104+…+2lg10n=2¹+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ，可求得和．

解答：解：∵等比数列{a_n}的各项都为正数，且当n≥3时，a₄•a_2n-4=10²ⁿ，∴a_n²=10²ⁿ，即a_n=10ⁿ，（n∈N^*）；
∴数列2lga1，2lga2，2lga3，2lga4，…，2lgan，…的前n项和为：
S_n=2lga1+2lga2+2lga3+2lga4+…+2lgan=2^lg10+2lg102+2lg103+2lg104+…+2lg10n=2¹+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-2．
故答案为：2ⁿ⁺¹-2．

点评：本题考查了等比数列前n项和公式的应用，也考查了指数与对数的运算法则；是考查基础知识，基本能力的计算题目．