Question

（本小题14分）已知函数 
（Ⅰ）若且函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；
（Ⅱ）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）求证：，…….

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ） ；（Ⅲ）见解析。

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。求解函数的极值，和不等式的恒成立问题，以及证明不等式。
解：（Ⅰ）因为， x0，则，
求解导数，判定函数单调性，得到极值。
因为函数在区间（其中）上存在极值，
得到参数k的范围。
（Ⅱ）不等式，又，则 ，构造新函数,则 
令，则，
分析单调性得到证明。
（Ⅲ）由（2）知：当时，恒成立，即，，
令 ，则；可以证明。

解：（Ⅰ）因为， x0，则，
当时，；当时，.
所以在（0，1）上单调递增；在上单调递减，
所以函数在处取得极大值；……….2分
因为函数在区间（其中）上存在极值，
所以 解得；……….4分
（Ⅱ）不等式，又，则 ，,则；……….6分
令，则，
，在上单调递增，，
从而， 故在上也单调递增， 所以，
所以.  ；……….8分
（Ⅲ）由（2）知：当时，恒成立，即，，
令 ，则；……….10分
所以 ，，……
,
n个不等式相加得
即……….14分