Question

（08年长郡中学二模理）（13分）  已知椭圆方程为，长轴两端点为，短轴上端点为．

（1）若椭圆焦点坐标为，点在椭圆上运动，当的最大面积为3时，求其椭圆方程；

（2）对于（1）中的椭圆方程，作以为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形，设直线的斜率为，试求的值；

（3）过任作垂直于，点在椭圆上，试问在轴上是否存在点，使得直线的斜率与的斜率之积为定值，如果存在，找出一个点的坐标，如果不存在，说明理由．

Answer 1

解析：（1）由已知：， ，联立方程组求得：

所求方程为：        。。。。。。4分                         

（2）依题意设所在的直线方程为，代入椭圆方程并整理得：，则同理 

由得，即 故

                 8分

（3）由题意知设

                                            

又由得，同理，

所以.

从而得所以   

而(为定值).对比上式可知：

选取，则得直线的斜率与的斜率之积为           13分