Question

已知直线y=-x+1与椭圆=1（a＞b＞0）相交于A、B两点．
（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求椭圆方程；
（2）在（1）的条件下，求线段AB的长；
（3）若椭圆的离心率，向量与向量互相垂直（其中O为坐标原点），求椭圆的长轴的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用椭圆的离心率为，焦距为2，建立方程，求出几何量，即可求椭圆方程；
（2）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理结合弦长公式，可求线段AB的长；
（3）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合椭圆的离心率，向量与向量互相垂直，即可求得椭圆的长轴的取值范围．
解答：解：（1）∵，∴
∴椭圆的方程为…（3分）
（2）联立消去y得：5x²-6x-3=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则
∴…（8分）
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵，∴
由消去y得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0
由△=（-2a²）²-4a²（a²+b²）（1-b²）＞0整理得a²+b²＞1（*）
又，，
∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（-x₁+1）（-x₂+1）=2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0
∴整理得：a²+b²-2a²b²=0
∴b²=a²-c²=a²-a²e²
代入上式得∴
∵
∴满足（*）式，
∴…（14分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．