Question

设

a

、

b

、

c

是单位向量，且

a

•

b

=0，则（

a

-

c

）•（

b

-

c

）的最小值为

1-

2

．

Answer 1

分析：不妨设

a

=（1，0），

b

=（0，1），

c

=（x，y），满足x²+y²=1，则（

a

-

c

）•（

b

-

c

）=1-（x+y），然后利用基本不等式可求出最小值．

解答：解：不妨设

a

=（1，0），

b

=（0，1），

c

=（x，y）  满足x²+y²=1
∴（

a

-

c

）•（

b

-

c

）=1-（x+y）
∵（x+y）²≤2（x²+y²）=2，
∴x+y≤

2

则-（x+y）≥-

2

∴（

a

-

c

）•（

b

-

c

）=1-（x+y）≥1-

2

即（

a

-

c

）•（

b

-

c

）的最小值为1-

2

故答案为：1-

2

点评：本题主要考查了平面向量数量积的运算，以及构造法的运用和基本不等式的考查，属于中档题．