Question

已知函数f（x）=x-sinx（x≥0）
（1）求f（x）的最小值；
（2）若函数g(x)=

x2

2

-af′(x)在（0，+∞）上单调递增，求正实数a的取值范围；
（3）若

n

k=1

cos

1

k

≤λn对一切n∈N^*恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

分析：（1）先求导函数，研究函数的单调性，从而求出最小值；（2）先证明函数g（x）在（0，+∞）上单调性，再求正实数a的取值范围，注意分类讨论；（3）借助函数的性质来研究其单调性，得到参数的取值范围．

解答：解：（1）f′（x）=1-cosx=0得x=0，且函数在[0，+∞）上为增函数，故f（x）的最小值为0  
 （2）g(x)=

x2

2

-a-acosx，g′（x）=x-asinx又a为正实数
当0＜a≤1时，若x∈（0，1），由（1）可知x≥sinx，所以g′（x）≥（1-a）sinx≥0
若x∈（1，+∞），asinx≤a≤1＜x，
所以g′（x）≥（1-a）sinx≥0
综上，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞1时，令h（x）=x-asinx，（x≥0）则h′（x）=1-acosx
当x∈(0，arccos

1

a

)时，h′（x）＜0，h（x）单减，所以h（x）＜h（0）=0
即g′（x）＜0，所以g（x）在(0，arccos

1

a

)上单调递减，与已知矛盾．
综上，正实数a的取值范围为：正实数a的取值范围（0，1]
（3）首先

n

k=1

cos

1

k

＜n其次，由（2）知：当a=1时，g(x)=

x2

2

-1-cosx在（0，+∞）上单调递增，
所以g（x）＞g（0）=0，从而cosx＞1-

x2

2

，
所以：cos

1

k

＞1-

1

2k2

n

k=1

cos

1

k

＞n-

1

2

n

k=1

1

k2

＞n-

1

2

(1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)×n

)
=n-1+

1

2n

＞n-1
若λ≥1，则λn≥n＞

n

k=1

cos

1

k

若λ＜1，则λn≥

n

k=1

cos

1

k

＞n-1，
即λn＞n-1，对一切n∈N^*恒成立，但当n＞

1

1-λ

时，λn＜n-1，矛盾．
综上：λ≥1，其最小值为1．

点评：本题主要考查导数的运用，重点考查利用单调性求函数的最值问题，第（3）问有一定难度