Question

已知函数f（x）=x²-（a+1）x+a，其中a为实常数．
（1）解关于x的不等式f（x）＜0；
（2）若不等式f（x）≥x-2对任意x＞1恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先把不等式化简为x-a）（x-1）＜0，再进行分类讨论：a＞1；a=1；a＜1，可求不等式的解集；
（2）不等式f（x）≥x-2对任意x＞1恒成立，即x²-（a+1）x+a≥x-2对任意x＞1恒成立，将参数a分离出来，即x²-2x+2≥a（x-1），由于x＞1，所以a≤

x2-2x+2

x-1

，利用基本不等式可求

x2-2x+2

x-1

）的最小值为2，从而可求a的取值范围．

解答：解：（1）由题意，（x-a）（x-1）＜0
①当a＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜a}
②当a=1时，不等式的解集为∅
③当a＜1时，不等式的解集为{x|a＜x＜1}
（2）不等式f（x）≥x-2对任意x＞1恒成立，即x²-（a+1）x+a≥x-2对任意x＞1恒成立
将参数a分离出来，即x²-2x+2≥a（x-1）
由于x＞1，所以a≤

x2-2x+2

x-1

∵x＞1，∴

x2-2x+2

x-1

=(x-1)+

1

x-1

≥2
所以

x2-2x+2

x-1

）的最小值为2，当且仅当x=2时，取得最小值．
所以a≤2

点评：本题以函数为载体，考查一元二次不等式的解法，考查恒成立问题，解题的关键是正确分类，利用分离参数法求解恒成立问题．