题目内容
已知
，点A表示原点，点An（n，f（n））（n∈N*），θn是向量
与向量
的夹角，
，设Sn=tanθ1+tanθ2+tanθ3+…+tanθn，则
= ．
【答案】分析：由题可知：利用向量求和及向量夹角概念可得tanθn=
=
，再利用数列裂项相消求和知识及极限运算法则可得解．
解答：解：由向量求和知
=
，
又有
，点An（n，f（n））（n∈N*），
向量
与向量
的夹角为θn即线段AAn与x轴夹角也为θn，
由此可知tanθn=
=
=
，
又设Sn=tanθ1+tanθ2+tanθ3+…+tanθn，
由tanθn=
=（
-
）×
，
利用数列裂项相消求和公式可得：
Sn=tanθ1+tanθ2+tanθ3+…+tanθn=
×（1-
+
-
+
-
+…+
-
+
-
）=
×（1+
-
-
）．
∴
Sn=
．
故答案为：
．
点评：本题是向量与极限结合的综合题．
（1）要熟练掌握向量运算的多边形法则及向量夹角概念．
（2）对数列求和的裂项相消方法及极限运算法则也要灵活掌握．以上两点也是考试重点．
=
，再利用数列裂项相消求和知识及极限运算法则可得解．解答：解：由向量求和知
=
，又有
，点An（n，f（n））（n∈N*），向量
与向量
的夹角为θn即线段AAn与x轴夹角也为θn，由此可知tanθn=
=
=
，又设Sn=tanθ1+tanθ2+tanθ3+…+tanθn，
由tanθn=
=（
-
）×
，利用数列裂项相消求和公式可得：
Sn=tanθ1+tanθ2+tanθ3+…+tanθn=
×（1-
+
-
+
-
+…+
-
+
-
）=
×（1+
-
-
）．∴
Sn=
．故答案为：
．点评：本题是向量与极限结合的综合题．
（1）要熟练掌握向量运算的多边形法则及向量夹角概念．
（2）对数列求和的裂项相消方法及极限运算法则也要灵活掌握．以上两点也是考试重点．
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