Question

14．已知函数f（x）=log₃$\frac{x-1}{x+1}$，g（x）=-2ax+a+1．
（1）当a=-1时，记h（x）=f（x）+g（x）．
①求证：h（x）为奇函数；
②直接写出函数h（x）的单调区间以及函数h（x）的零点个数（不必证明）；
（2）若关于x的方程f（x）=log₃g（x）有两个不等实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）①h（x）=log₃$\frac{x-1}{x+1}$+2x，$\frac{x-1}{x+1}$＞0，x＞1或x＜-1，利用奇函数定义判断，
②根据图象判断书写即可
（2）转化为$\frac{x-1}{x+1}$=-2ax+a+1．x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）得出a=$\frac{2}{（x+1）（2x-1）}$，构造函数y=$\frac{2}{（x+1）（2x-1）}$，运用图象判断即可．

解答 解：∵函数f（x）=log₃$\frac{x-1}{x+1}$，g（x）=-2ax+a+1．
（1）①当a=-1时，记h（x）=f（x）+g（x）．
h（x）=log₃$\frac{x-1}{x+1}$+2x，$\frac{x-1}{x+1}$＞0，x＞1或x＜-1，
h（-x）=log₃$\frac{-x-1}{-x+1}$-2x=-log₃$\frac{x-1}{x+1}$-2x=-h（x），
∴h（x）为奇函数；
②y=$\frac{x-1}{x+1}$=$1-\frac{2}{x+1}$在（1，+∞）与（-∞，-1）上单调递增，
y=2x是增函数，
h（x）的定义域为：（-∞，-1）∪（1，+∞）
h（x）有2个零点，
h（x）在（1，+∞）与（-∞，-1）上单调递增，


（2）关于x的方程f（x）=log₃g（x）有两个不等实数根，
log₃$\frac{x-1}{x+1}$=log₃g（x），
即$\frac{x-1}{x+1}$=-2ax+a+1．x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）
$\frac{-2}{x+1}$=a（-2x+1），
a=$\frac{2}{（x+1）（2x-1）}$，
y=$\frac{2}{（x+1）（2x-1）}$，
x=-$-\frac{1}{4}$时，y=$-\frac{16}{9}$，
运用图象可判断出y=a，与y=$\frac{2}{（x+1）（2x-1）}$，有2个交点，
实数a的取值范围：a＞0或a$＜-\frac{16}{9}$

点评 本题综合考察导数，在解决函数不等式，函数的零点的运用，综合性较强，难度较大，需要构造函数多次判断．