Question

已知函数f（x）=ax-lnx
（I）当a=1时，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）当a＞0时，求f（x）在[1，e]上的最大值与最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把a=1代入函数解析式，求导后判断原函数在定义域内不同区间上的单调性，求出极小值点，得到极小值，从而求得最小值；
（Ⅱ）利用函数的导函数求出原函数的单调区间，然后通过对a的取值范围讨论得到函数f（x）在[1，e]上的单调情况，利用函数f（x）在区间（1，e）上的极值与端点处的函数值的大小比较求得f（x）在[1，e]上的最大值与最小值．
解答：解：（I）当a=1时，f（x）=x-lnx（x＞0），
．
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
所以当x=1时f（x）取得极小值，也是最小值为f（1）=1．
（II）由f（x）=ax-lnx（x＞0）．
则．
由f′（x）＞0，得x＞，由f′（x）＜0，得0＜x＜．
所以f（x）在上为减函数，在上为增函数．
当时，f_min=f（e）=ae-1，．
当时，，．
当时，，．
当a≥1时，f_min=f（1）=a，．
点评：本题考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了分类讨论得数学思想方法，正确的分类是解答该题的关键，此题属中档题．