题目内容

已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且a与b满足关系式|a-kb|=3|ka+b|,其中k＞0.

(1)试用k表示a·b;

(2)求a·b的最大值,并求出此时a与b的夹角θ的大小.

解：(1)由关系式|a-kb|=|ka+b|，得|a-kb|2=3|ka+b|2,

    即(a-kb)2=3(ka+b)2,

    即(a2-2ka·b+k2b2)=3(k2a2+2ka·b+b2).

∵a2=|a|2=cos2α+sin2α=1,

b2=|b|2=cos2β+sin2β=1,

∴-8ka·b=2+2k2.

∴a·b=-(k＞0).

(2)∵k＞0,∴=(+k)≥=,即a·b≤-,当且仅当k=1时取等号.

∴当k=1时,a·b的最大值为-,

    当a·b=-时,cosθ===-.

∵θ∈［0,π］,∴θ=.

练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）设
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范围．
已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函数f(x)=
a
•
b
+λ（λ为常数）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象的对称轴；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象经过点(
π
4
，0)，求函数y=f（x）在区间[0，
5π
12
]上的取值范围．
已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．
已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函数f(x)=2
a
•
b
-1的图象相邻对称轴间距离为
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．
已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求证：
a
⊥
b
；
（2）设f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网