Question

矩形ABCD的顶点A、B在直线l：2x+y-4=0上运动，点C，D曲线E：y²=4（x+4）（-4≤x≤4）上运动，求矩形ABCD面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：由题意可知曲线是抛物线的一段，联立直线l：2x+y-4=0与抛物线y²=4（x+4）可求直线与抛物线的交点，结合-4≤x≤4，点（5，-6）不是直线l与曲线E的交点．则可知C、D只能在直线的左侧．，设直线CD的方程为：2x+y-b=0，由CD在直线l的左侧知：过点可得，
由y²=4（x+4）及2x+y-b=0，消去y得4x²-（4b+4）x+b²-16=0，由△=（4b+4）²-4•4•（b²-16）=16（2b+17）＞0，得设C、D两点的横坐标为x₁，x₂，则由方程的根与系数关系及弦长公式可求CD，结合，则可得矩形ABCD的面积S=|CD|•|BC|=
（法一）利用导数知识判断函数y=S²=（2b+17）（4-b）²=2b³+b²-104b+272的单调性，进而可求函数的最大值
（法二）S=|CD|•|BC|=，利用基本不等式可求函数的最大值
解答：解：（法一）由题意可知曲线是抛物线的一段，联立直线l：2x+y-4=0与抛物线y²=4（x+4）
可得，解得或
因为-4≤x≤4，所以（5，-6）不是直线l与曲线E的交点．故C、D只能在直线的左侧．
设直线CD的方程为：2x+y-b=0，其中b为截距，由CD在直线l的左侧知：过点时，b取最大值，得，
由y²=4（x+4）及2x+y-b=0，消去y得4x²-（4b+4）x+b²-16=0，
由△=（4b+4）²-4•4•（b²-16）=16（2b+17）＞0，得-----------（5分）．
设C、D两点的横坐标为x₁，x₂，则，
∴，又-----------（8分），
从而矩形ABCD的面积S=|CD|•|BC|=--（10分）．
令y=S²=（2b+17）（4-b）²=2b³+b²-104b+272，
y′=6b²+2b-104=（b-4）（6b+26），
当时，y′＞0，函数y=2b³+b²-104b+272，在（-）上单调递增
时，y′＜0，函数y=2b³+b²-104b+272，在上单调递减
所以，时，S取极大值，也是最大值，
矩形ABCD的面积的最大值为-----------（15分）．
（法二）由题意可知曲线是抛物线的一段，联立直线l：2x+y-4=0与抛物线y²=4（x+4）
可得，解得或
因为-4≤x≤4，所以（5，-6）不是直线l与曲线E的交点．故C、D只能在直线的左侧．
设直线CD的方程为：2x+y-b=0，其中b为截距，由CD在直线l的左侧知：过点时，b取最大值，得，
由y²=4（x+4）及2x+y-b=0，消去y得4x²-（4b+4）x+b²-16=0，
由△=（4b+4）²-4•4•（b²-16）=16（2b+17）＞0，得-----------（5分）．
设C、D两点的横坐标为x₁，x₂，则，
∴，又-----------（8分），
从而矩形ABCD的面积S=|CD|•|BC|=--（10分）．
∵（2b+17）+（4-b）+（4-b）=25
∴S====
当且仅当2b+17=4-b时，即时取得最大值．
点评：本题主要考查了直线与抛物线的相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，及利用导数知识判断函数的 单调性，求解函数的最值及利用基本不等式求解函数的最值，属于函数知识的综合应用．