Question

矩形ABCD的顶点A、B在直线l：2x+y-4=0上运动，点C，D曲线E：y²=4（x+4）（-4≤x≤4）上运动，求矩形ABCD面积的最大值．

Answer 1

分析：由题意可知曲线是抛物线的一段，联立直线l：2x+y-4=0与抛物线y²=4（x+4）可求直线与抛物线的交点，结合-4≤x≤4，点（5，-6）不是直线l与曲线E的交点．则可知C、D只能在直线的左侧．，设直线CD的方程为：2x+y-b=0，由CD在直线l的左侧知：过点(4，-4

2

)可得b≤8-4

2

，
由y²=4（x+4）及2x+y-b=0，消去y得4x²-（4b+4）x+b²-16=0，由△=（4b+4）²-4•4•（b²-16）=16（2b+17）＞0，得b＞-

17

2

设C、D两点的横坐标为x₁，x₂，则由方程的根与系数关系及弦长公式可求CD，结合|BC|=

|4-b|

5

，则可得矩形ABCD的面积S=|CD|•|BC|=

2b+17

•(4-b)，(-

17

2

＜b＜8-4

2

)
（法一）利用导数知识判断函数y=S²=（2b+17）（4-b）²=2b³+b²-104b+272的单调性，进而可求函数的最大值
（法二）S=|CD|•|BC|=

2b+17

•(4-b)，(-

17

2

＜b＜8-4

2

)，利用基本不等式可求函数的最大值

解答：解：（法一）由题意可知曲线是抛物线的一段，联立直线l：2x+y-4=0与抛物线y²=4（x+4）
可得

2x+y-4=0 y2=4(x+4)

，解得

x=0 y=4

或

x=5 y=-6

因为-4≤x≤4，所以（5，-6）不是直线l与曲线E的交点．故C、D只能在直线的左侧．
设直线CD的方程为：2x+y-b=0，其中b为截距，由CD在直线l的左侧知：过点(4，-4

2

)时，b取最大值，得b≤8-4

2

，
由y²=4（x+4）及2x+y-b=0，消去y得4x²-（4b+4）x+b²-16=0，
由△=（4b+4）²-4•4•（b²-16）=16（2b+17）＞0，得b＞-

17

2

-----------（5分）．
设C、D两点的横坐标为x₁，x₂，则x1+x2=b+1，x1x2=

b2-16

4

，
∴CD=

5[(x1+x2)2-4x1x2]

=

5(2b+17)

，又|BC|=

|4-b|

5

-----------（8分），
从而矩形ABCD的面积S=|CD|•|BC|=

2b+17

•(4-b)，(-

17

2

＜b＜8-4

2

)--（10分）．
令y=S²=（2b+17）（4-b）²=2b³+b²-104b+272，
y′=6b²+2b-104=（b-4）（6b+26），
当-

17

2

＜b＜-

13

3

时，y′＞0，函数y=2b³+b²-104b+272，在（-

17

2

，-

13

3

）上单调递增
-

13

3

＜b＜8-4

2

时，y′＜0，函数y=2b³+b²-104b+272，在[-

13

3

，8-4

2

)上单调递减
所以，b=-

13

3

时，S取极大值，也是最大值，
矩形ABCD的面积的最大值为

125 3

9

-----------（15分）．
（法二）由题意可知曲线是抛物线的一段，联立直线l：2x+y-4=0与抛物线y²=4（x+4）
可得

2x+y-4=0 y2=4(x+4)

，解得

x=0 y=4

或

x=5 y=-6

因为-4≤x≤4，所以（5，-6）不是直线l与曲线E的交点．故C、D只能在直线的左侧．
设直线CD的方程为：2x+y-b=0，其中b为截距，由CD在直线l的左侧知：过点(4，-4

2

)时，b取最大值，得b≤8-4

2

，
由y²=4（x+4）及2x+y-b=0，消去y得4x²-（4b+4）x+b²-16=0，
由△=（4b+4）²-4•4•（b²-16）=16（2b+17）＞0，得b＞-

17

2

-----------（5分）．
设C、D两点的横坐标为x₁，x₂，则x1+x2=b+1，x1x2=

b2-16

4

，
∴CD=

5[(x1+x2)2-4x1x2]

=

5(2b+17)

，又|BC|=

|4-b|

5

-----------（8分），
从而矩形ABCD的面积S=|CD|•|BC|=

2b+17

•(4-b)，(-

17

2

＜b＜8-4

2

)--（10分）．
∵（2b+17）+（4-b）+（4-b）=25
∴S=

2b+17

•(4-b)=

2b+17

•

4-b

•

4-b

≤

( 2b+17+4-b+4-b 3 )3

=

( 25 3 )3

=

125 3

9

当且仅当2b+17=4-b时，即b=-

13

3

时取得最大值．

点评：本题主要考查了直线与抛物线的相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，及利用导数知识判断函数的 单调性，求解函数的最值及利用基本不等式求解函数的最值，属于函数知识的综合应用．