Question

设A₁、A₂为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在异于A₁、A₂的点P，使得，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：由，可得 y²=ax-x²＞0，故 0＜x＜a，代入=1，整理得（b²-a²）x²+a³x-a²b²=0 在（0，a ）上有解，令f（x）=（b²-a²）x²+a³x-a²b²=0，，结合图形，求出椭圆的离心率e的范围．
解答：A₁（-a，0），A₂（a，0），设P（x，y），则=（-x，-y），=（a-x，-y），
∵，∴（a-x）（-x）+（-y）（-y）=0，y²=ax-x²＞0，∴0＜x＜a．
代入=1，整理得（b²-a²）x²+a³x-a²b²=0 在（0，a ）上有解，
令f（x）=（b²-a²）x²+a³x-a²b²=0，∵f（0）=-a²b²＜0，f（a）=0，如图：
△=（a³）²-4×（b²-a²）×（-a²b²）=a²（ a⁴-4a²b²+4b⁴ ）=a²（a²-2c²）²≥0，
∴对称轴满足 0＜-＜a，即 0＜＜a，∴＜1，
＞，又 0＜＜1，∴＜＜1，故选 D．

点评：本题考查两个向量坐标形式的运算法则，两个向量的数量积公式，一元二次方程在一个区间上有实数根的条件，
体现了数形结合的数学思想．