Question

求证：在一个平面内，过直线l外一点P只能作出一条直线垂直于l.

Answer 1

证明：假设过点P可以作两条直线垂直于直线l,如图，那么∠PAB=90°，于是∠APB+∠PAB+∠PBA＞180°,即△PAB的内角和大于180°，这与三角形内角和定理矛盾，故假设不成立.

所以，在一个平面内，过直线l外一点P只能作出一条直线垂直于l.绿色通道：

用反证法证明数学命题，需要注意以下几点：

（1）“否定结论”是反证法的第一步，它的正确与否直接影响能否正确使用反证法.否定结论的步骤是：①弄清结论本身的情况；②找出结论的全部相反情况；③正确否定上述结论.

（2）反证法中引出矛盾的结论，不是推理本身的错误，而是开始假定“结论的反面是正确的”是错误的.

（3）在反证法证题的过程中，经常画出某些不合常理的图形，甚至是不可能存在的图形，这样做的目的是为了能清楚地说明问题.在证明过程中，每一步推理所得结论的正确性，完全由它所依据的理由来保证，而不能借助图形的直观，这与用直接证法通过图形直接找到证题的途径是完全不一样的.

黑色陷阱：

用反证法证明命题时，若原命题问题的反面不唯一，这时容易漏掉一些情况，对于这种情形，要把每种可能一一否定，不要遗漏.