Question

已知数列{a_n}的前n项和为Sn=3n-1
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若bn=log

1

3

(Sn+1)，求数列{b_na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，由Sn=3n-1，能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）bn=log

1

3

(Sn+1)=log

1

3

(3n)=-n，所以Tn=-2×1-4×31-6×32-…-2n×3n-1，利用错位相减法能够求出数列{b_na_n}的前n项和T_n．

解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=2，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(3n-1)-(3n-1-1)=2×3n-1
综上所述an=2×3n-1…（5分）
（Ⅱ）bn=log

1

3

(Sn+1)=log

1

3

(3n)=-n…（6分）
所以b_na_n=-2n×3^n-1Tn=-2×1-4×31-6×32-…-2n×3n-1…（7分）
3T_n=-2×3¹-4×3²-…-2（n-1）×3^n-1-2n×3ⁿ…（8分）
相减得-2Tn=-2×1-2×31-2×32-…-2×3n-1+2n×3n
=-2×（1+3¹+3²+…+3^n-1）+2n×3ⁿ…（10分）
所以Tn=(1+31+32+…+3n-1)-n×3n=

1-3n

1-3

-n×3n
=-

(2n-1)×3n+1

2

，n∈N*…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

的灵活运用和错位相减法的合理运用．