Question

己知双曲线C的方程为，若直线x-my-3=0截双曲线的一支所得弦长为5．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）设过双曲线C上的一点P的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点P₁、P₂，且点P分有向线段所成的比为λ（λ＞0），当时，求（O为坐标原点）的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由曲线C的方程为，得，c=2，e=，左、右焦点分别为：F₁（-3，0），F₂（3，0），故直线x-my-3=0恒过双曲线的右焦点F₂（3，0），于是直线与双曲线的右支相交，由双曲线的第二定义得：=e，由此能求出m．
（Ⅱ）双曲线C的两条渐近线方程分别为，，设P（x，y），P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），且点P分有向线段所成的比为λ（λ＞0），则，，，由此能求出（O为坐标原点）的值．
解答：解：（Ⅰ）由曲线C的方程为，
得，∴c=2，e=，
左、右焦点分别为：F₁（-3，0），F₂（3，0），
∴直线x-my-3=0恒过双曲线的右焦点F₂（3，0），
于是直线与双曲线的右支相交，
设两个交点坐标分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由双曲线的第二定义得：=e，
即|AF₂|=．
同理，，
∴|AB|=|AF₂|+|BF₂|=，
依题意，得，
∴x₁+x₂=6，
由直线过右焦点F₂（3，0），知x₁=x₂=3，
此时直线垂直于x轴，
∴m=0．
（Ⅱ）双曲线C的两条渐近线方程分别为，，
设P（x，y），P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），且点P分有向线段所成的比为λ（λ＞0），
则，，，
∵点P（x，y）在双曲线上，
∴，
化简，得，
∵=，
同理，得，
∴，（λ＞0），
当时，=．
点评：本题考查双曲线与直线的位置关系的综合应用，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．