Question

（本小题满分12分）
设函数.   
(1)求函数的单调区间；
(2)当时,是否存在整数，使不等式恒成立？若
存在，求整数的值；若不存在，请说明理由。
(3)关于的方程在上恰有两个相异实根,求实数的取值范围。

Answer 1

解：(Ⅰ)由得函数的定义域为，
。          ……………………… 1分
由得；由得，
∴函数的递增区间是；递减区间是。…………  3分
(Ⅱ)由(1)知,在上递减,在上递增。 ∴ 
又∵，，且,
∴时,。          …………………  5分
∵不等式恒成立, ∴，
即
∵是整数，∴。              
∴存在整数，使不等式恒成立。………  7分
(Ⅲ)由得，
令,则，
由得；由得。 
∴在上单调递减,在上单调递增.     ……………  9分
∵方程在上恰有两个相异的实根,
∴函数在和上各有一个零点,           
∴，
∴实数的取值范围是      ……………  12分

解析