Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，且点P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直线x-y+1=0上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若函数f（n）=

1

n+a1

+

1

n+a2

+

1

n+a3

+…+

1

n+an

（n∈N^*，且n≥2），求函数f（n）的最小值．

Answer 1

分析：（1）把点P代入直线方程中，可得a_n+1-a_n=1，进而可知数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列，根据等差数列的通项公式即可求得a_n．
（2）根据（1）中求得的数列{a_n}的通项公式代入f（n）和f（n+1），可求得f（n+1）-f（n）＞0，进而推断所以f（n）是单调递增，故可知f（2）是函数f（n）的最小值．

解答：解：（1）由点P（a_n，a_n+1）在直线x-y+1=0上，
即a_n+1-a_n=1，且a₁=1，数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列，
a_n=1+（n+1）•1=n（n≥2），a₁=1同样满足，
所以a_n=n．
（2）f(n)=

1

n+1

+

1

n+2

++

1

2n

，f(n+1)=

1

n+2

+

1

n+3

+

1

n+4

+

1

2n+1

+

1

2n+2

，f(n+1)-f(n)=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

＞

1

2n+2

+

1

2n+2

-

1

n+1

=0．
所以f（n）是单调递增，
故f（n）的最小值是f(2)=

7

12

．

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式．属基础题．