Question

【题目】已知椭圆： （）的左右焦点分别为， ，若椭圆上一点满足，且椭圆过点，过点的直线与椭圆交于两点 .

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作轴的垂线，交椭圆于，求证： ， ， 三点共线.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】试题分析：

（1）由椭圆定义可得，再把点的坐标代入可求得，得椭圆方程；

（2）由于的坐标为，因此我们可以求出直线的方程，再证明点在此直线上即可．为此设设的方程为，点， ， ，联立直线方程与椭圆方程，消元后得一元二次方程，用韦达定理得，写出直线方程，并把代入得直线方程，令，求出，利用可得结果，结论得证．

试题解析：

（1）依题意， ，故.

将代入中，解得，故椭圆： .

（2）由题知直线的斜率必存在，设的方程为.

点， ， ，联立得.

即， ， ，

由题可得直线方程为，

又∵， .

∴直线方程为，

令，整理得

，即直线过点.

又∵椭圆的左焦点坐标为，∴三点， ， 在同一直线上.