Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+a²（a，b∈R）
（1）若函数f（x）在x=1处有极值为10，求b的值；
（2）若对任意a∈[-4，+∞），f（x）在x∈[0，2]上单调递增，求b的最小值．

Answer 1

（1）f'（x）=3x²+2ax+bk*s*5*u
则

f′(1)=3+2a+b=0 f(1)=1+a+b+a2=10

?

a=4 b=-11

或

a=-3 b=3

…（5分）
当

a=4 b=-11

时，f'（x）=3x²+8x-11，△=64+132＞0，所以函数有极值点；
当

a=-3 b=3

时，f′(x)=3(x-1)2≥0，所以函数无极值点；
则b的值为-11．…（7分）
（2）解法一：f'（x）=3x²+2ax+b≥0对任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立
则F（a）=2xa+3x²+b≥0对任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立∵x≥0，F（a）在a∈[-4，+∞）单调递增或为常数函数
所以得F（a）_min=F（-4）=-8x+3x²+b≥0对任意的x∈[0，2]恒成立，
即b≥（-3x²+8x）_max，又-3x2+8x=-3(x-

4

3

)2+

16

3

≤

16

3

，当x=

4

3

时(-3x2+8x)max=

16

3

，得b≥

16

3

，所以 b的最小值为

16

3

． …（15分）
解法二：f'（x）=3x²+2ax+b≥0对任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立
即b≥-3x²-2ax对任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，
即b≥（-3x²-2ax）_max．令F(x)=-3x2-2ax=-3(x+

a

3

)2+

a2

3

①当a≥0时，F（x）_max=0，∴b≥0；
②当-4≤a＜0时，F(x)max=

a2

3

， ∴ b≥

a2

3

．
又∵(

a2

3

)MAX=

16

3

，∴b≥

16

3

．
综上，b的最小值为

16

3

．…（15分）