Question

设{a_n}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），S_n是其前n项和．
（Ⅰ） 若a₂•a₉=130，a₄+a₇=31，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ） 记bn=

Sn

n

，n∈N^*，且b₁，b₂，b₄成等比数列，证明：Snk=n2Sk（k，n∈N^*）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）a₂+a₉=a₄+a₇=31，知a₂，a₉是方程x²-31x+130=0的两个实数根，解出方程，利用等差数列的通项公式可得a_n；
（Ⅱ）表示出S_n，b_n，由b₁，b₂，b₄成等比数列，得a，d的关系式，从而可化简S_n，代入等式左右两边验证即可；

解答：（Ⅰ）解：∵{a_n}是等差数列，由性质知a₂+a₉=a₄+a₇=31，
∴a₂，a₉是方程x²-31x+130=0的两个实数根，解得x₁=5，x₂=26，
当a₂=5，a₉=26时，d=3，a_n=3n-1；当a₂=26，a₉=5时，d=-3，a_n=-3n+32；
∴a_n=3n-1或a_n=-3n+32；
（Ⅱ）证明：由题意知Sn=na+

n(n-1)

2

d，
∴bn=

Sn

n

=a+

n-1

2

d，
∵b₁，b₂，b₄成等比数列，∴b22=b1b4，
∴(a+

1

2

d)2=a(a+

3

2

d)，∴

1

2

ad-

1

4

d2=0，
∴

1

2

d(a-

1

2

d)=0，
∵d≠0，∴a=

1

2

d，∴d=2a，
∴Sn=na+

n(n-1)

2

d=na+

n(n-1)

2

2a=n2a，
∴左边=Snk=(nk)2a=n2k2a，右边=n2Sk=n2k2a，∴左边=右边，
∴Snk=n2Sk（k，n∈N^*）成立．

点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，考查了学生的运算能力，解答此题的关键是理解并掌握非常数等差数列的通项公式是关于n的一次函数，此题是中档题．