Question

如图，△ABC中，AD=2DB，AE=3EC，CD与BF交于F，设

AB

=

a

，

AC

=

b

，

AF

=x

a

+y

b

，则（x，y）为（　　）

• A、(

  1

  2

  ，

  1

  2

  )
• B、(

  2

  3

  ，

  2

  3

  )
• C、(

  1

  3

  ，

  1

  2

  )
• D、(

  2

  3

  ，

  1

  2

  )

Answer 1

分析：依题意可分别求得

AD

和

AC

，进而可分别表示出

CD

和

BE

，根据C，D，F共线和B，E，F共线分别表示出

AF

，最后联立求得m和n，代入

AF

=

AC

+

CF

求得x和y．

解答：解：依题意可知

AB

=

a

，则

AD

=

2

3

a

，

AC

=

b

，则

AE

=

3

4

b

，

CD

=

AD

-

AC

=

2

3

a

-

b

，

BE

=

AE

-

AB

=

3

4

b

-

a

，
∵C，D，F共线，
∴

CF

=m

CD

=

2

3

m

a

-m

b

AF

=

AC

+

CF

=

2

3

m

a

+（1-m）

b

   （1）
∵B，E，F共线，
∴

BF

=n

BE

=

3

4

n

b

-n

a

AF

=

AB

+

BF

=

3

4

n

b

+（1-n）

a

   （2）
又基底的分解形式唯一，由（1）（2）知

2m

3

=1-n
1-m=

3

4

n
解得m=

1

2

，n=

2

3

代入（1），

AF

=

AC

+

CF

=

2

3

m

a

+（1-m）

b

=

1

3

a

+

1

2

b

∴x=

1

3

，y=

1

2

故选C

点评：本题主要考查了向量的三角形法则，向量的基本运算．考查了学生对向量基础知识的综合把握．