Question

已知a、b、c是△ABC三边长，关于x的方程ax2-2

c2-b2

x-b=0(a＞c＞b)的两根之差的平方等于4，△ABC的面积S=10

3

，c=7．
（I）求∠C；
（II）求a、b的值．

Answer 1

（I）设x₁，x₂为方程ax2-2

c2-b2

x-b=0的两根．
则x1+x2=

2 c2-b2

a

，x1•x2=

-b

a

．
∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=

4(c2-b2)

a2

+

4b

a

=4．
∴a²+b²-c²=ab．
又cosC=

a2+b2-c2

2ab

，
∴cosC=

1

2

，
∴∠C=60°；
（II）由S=

1

2

absinC=10

3

，∴ab=40．①
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，
即c²=（a+b）²-2ab（1+cos60°），
∴72=(a+b)2-2×40×(1+

1

2

)，
∴a+b=13．②
由①、②，得a=8，b=5．