题目内容
【题目】（本小题满分12分）已知函数
（1）若直线
过点
，并且与曲线
相切，求直线
的方程；
（2）设函数
在
上有且只有一个零点，求
的取值范围。（其中
为自然对数的底数）
【答案】（1）直线
的方程为
（2）a的取值范围是
或
【解析】
试题分析：（1）先求函数
的导数，再利用导数的几何意义求切线的斜率，从而确定切线的方程；（2）因为
，注意到g（1）=0，所以，所求问题等价于函数
在
上没有零点.因此只要求出函数的导数，根据的取值计论函数在上的性质,以确定
取何值时，函数在上没有零点.
试题解析：解：（1）设切点坐标为
，则
切线的斜率为
所以切线
的方程为
2分
又切线过点（1，0），所以有
即
解得
所以直线的方程为 4分
（或：设
，则
单增，
单减
有唯一解，
所以直线的方程为
4分）
（2）因为，注意到g（1）=0
所以，所求问题等价于函数在上没有零点.
因为
所以由
＜0
＜0
0＜
＜
＞0
＞
所以
在
上单调递减，在
上单调递增. 6分
①当
即
时，
在
上单调递增，所以
>
此时函数g（x）在
上没有零点 7分
②当1＜
＜e，即1＜a＜2时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
又因为g（1）=0,g（e）=e-ae+a，
在
上的最小值为
所以，（i）当1＜a
时，在
上的最大值g（e）
0，即此时函数g（x）在上有零点。 8分
（ii）当
＜a＜2时， g（e）＜0，即此时函数g（x）在上没有零点. 10分
③当
即
时，在上单调递减，所以在上满足＜
此时函数g（x）在上没有零点
综上，所求的a的取值范围是或＜a 12分
【题目】某校想了解高二数学成绩在学业水平考试中的情况，从中随机抽出
人的数学成绩作为样本并进行统计，频率分布表如下表所示.
组号 | 分组 | 频数 | 频率 |
第1组 |
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第2组 |
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第3组 |
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第4组 |
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第5组 |
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合计 |
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（1）据此估计这次参加数学考试的高二学生的数学平均成绩；
（2）从这五组中抽取
人进行座谈，若抽取的这人中，恰好有
人成绩为分，
人成绩为
分，人成绩为
分，
人成绩为
分，求这人数学成绩的方差；
（3）从人的样本中，随机抽取测试成绩在
内的两名学生，设其测试成绩分别为
，
.
（i）求事件“
”的概率；
（ii）求事件“
”的概率.
