Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足acosC=（2b-c）cosA
（1）求角A；
（2）若a=3，求△ABC面积S的最大值．

Answer 1

（1）利用正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

化简已知的等式得：
sinAcosC=（2sinB-sinC）cosA，即sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosA，
∴sin（A+C）=sinB=2sinBcosA，
∵B为三角形的内角，即sinB≠0，
∴cosA=

1

2

，又A为三角形的内角，
则A=

π

3

；
（2）∵a=3，cosA=

1

2

，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得：9=b²+c²-bc≥2bc-bc，
∴bc≤9，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA≤

9 3

4

，
则△ABC面积S的最大值为

9 3

4

．