题目内容
假设某市2004年新建住房面积400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？
思路点拨:本题是有关数列的应用题目,通过仔细读题,不难发现各年的新建住房面积依次构成等比数列；而其中的中低价房面积又是成等差数列,只要将题目中所述的恰当地转化为相关的数列问题,问题就容易求解了.
解:(1)设中低价房面积形成数列{an},
由题意可知{an}是等差数列.
其中a1=250,d=50,
则Sn=250n+
×50=25n2+225n.
令25n2+225n≥4 750,
即n2+9n-190≥0,
而n是正整数,
∴n≥10.
∴到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平?方米.
(2)设新建住房面积形成数列{bn},
由题意可知{bn}是等比数列,其中b1=400,q=1.08,
则bn=400·1.08n-1.
由题意可知an＞0.85bn,有250+(n-1)×50＞400×1.08n-1.
由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6,
∴到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
[一通百通]对于此类有关数列的应用问题,在解决的过程中要注意将题意所述恰当地转化成相关数列的问题,能够将题意中的语言翻译成数学语言,从而利用数列的相关知识将问题解决.
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