Question

【题目】已知函数,其中为自然对数的底数.若不等式对恒成立,则的最小值等于____________.

Answer 1

【答案】

【解析】法1： .

（1）若即，则在上恒成立.当时，又，故，与恒成立矛盾，舍去；

（2）若即，则当时， ， 在为增函数；当时， ， 在为减函数，故，整理得到，所以， .

令，则，注意到为上的减函数，且当， ，所以

当时， 即， 在上是增函数；

当时， 即， 在上是减函数，

所以，故即，当且仅当时等号成立，即的最小值为.

法2：令，从而， 可以转化为在上恒成立，令，其在是增函数且.设为曲线的任意一点，在处的切线方程为，令，则，

当时， ， 在在是减函数；

当时， ， 在在是增函数；

事宜，从而，所以的图像始终在其任意一点处的切线的下方或与其相切，所以，即，故所求的最小值为.